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比特幣歐式期權價格的計算

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派客國際投資(集團)有限公司 蘇文傑
 
摘要:本文簡述了兩種計算比特幣歐式期權價格的方法,並針對Deribit平台利用B-S-M公式編寫了計算程序。
 
物理學家在華爾街做的是什麼呢?他們主要是構建模型來確定證券價值。他們投身於投資銀行、對沖基金或者像彭博和SunGard那樣的金融軟件公司,對舊的模型修修補補,並開發出新的模型。到目前為止,在整個金融界最著名、應用最廣泛的是布萊克-肖爾斯期權定價模型。著名金融學家、期權理論家,現任麻省理工學院講席教授的史蒂夫•羅斯,在《帕爾格雷夫經濟學大辭典》中寫道:“……期權定價理論不止在金融領域,而且在整個經濟學範疇內都是最成功的理論。”
 
——摘自 伊曼紐爾•德曼 《寬客人生》
 
一、期權定價理論與諾貝爾經濟學獎
 
“以前,華爾街從來就不是學者們的地盤。但從我1985年底進入高盛那天起,我就一直聽到人們帶著敬畏談論費希爾•布萊克。他是布萊克-肖爾斯期權定價公式的共同發現者,也是高盛量化策略小組的負責人。
 
在20世紀70年代初期以前,還沒有人知道怎樣用令人信服的方式估算出期權的價值。當股價上漲時,一個賺錢的看漲期權似乎更像是在賭馬——你對這隻股票的未來前景越看好,你就越願意付更高的價錢來買它。每個人都確定自己認為合理的價格。
 
後來,在1973年,費希爾•布萊克和邁倫•肖爾斯發表了以他們名字命名的用於期權估價的布萊克-肖爾斯公式。同年,羅伯特•默頓對於這一公式中一個引起爭論的地方給出了更為嚴格、見解更為深刻的解釋。最後,默頓給出的公式代替布萊克和肖爾斯最初給出的公式,成為標準形式(下稱B-S-M公式)。默頓和肖爾斯因為這一工作獲得1997年的諾貝爾經濟學獎,但是費希爾,本與他們同獲殊榮,卻早在1995年就去世了。如果他足夠幸運能再多活上幾年,那麼他肯定就會是諾貝爾經濟獎的共同獲獎人。 ”[1]
 
二、期權應用的廣泛性和重要性
 
期權市場是最具活力和變化的市場之一。期權具有良好的規避風險、風險投資和價值發現等功能,故而得到了迅速的發展和廣泛的應用,同時對市場也有著深刻的影響。
 
“1998年7月,道瓊斯工業平均指數(DJIA)在達到了9337.97點的峰值之後開始逐步滑落。當時,投資者的信心很低,交易所上市的賣出期權變得非常昂貴,美國聯邦儲備委員會主席艾倫•格林斯潘對股票市場定價過高發出了警告,同時,俄羅斯政府宣布對盧布實行貶值並推遲償還俄羅斯的外債。在1997年亞洲市場危機和貨幣市場騷亂之後,俄羅斯的違約給投資者造成了壓力,並導致資金從風險市場向安全的政府債券轉移。許多對沖基金賣出了它們的流動資產,包括指數期貨、股票和高收益債券,以彌補它們在俄羅斯和其他新興市場中進行高槓桿賭博所發生的損失。8月27日美國市場遭遇了第一次沖擊,當時DJIA下跌了4.2個百分點,同時,東京和倫敦市場也下跌了3個百分點。在這次下跌之後,投資者迫切需要好的對沖工具,這就提高了對賣出期權的需求,導致其價格上漲。而期權做市商和其他保護性期權的銷售者也被迫通過賣出期貨和股票來對沖他們自身的風險。8月31日,賣出期權簽發人和對沖基金對期貨的大量拋售造成了期貨貼水……
 
對於8月份的暴跌人們將很大一部分責任歸咎於對沖基金——它們深陷於高槓桿的“套利”操作中。一方面,高槓桿交易一旦成功即可產生巨大的盈利,另一方面,當市場逆行的時候,這樣的交易也會導致慘重的損失……”[2]
 
三、波動率[3]——“沒有波動率,則期權就是多餘的”
 
1、標的資產價格的波動率
 
簡單地說,標的資產價格的波動率是用於衡量標的資產未來價格變動不確定性的指標。
 
值得注意的是,與決定和影響期權價格的其他因素不同,在期權定價時,標的資產價格在期權有效期內的波動率是一個未知數,因此,在期權定價時,要獲得標的資產價格的波動率,只能通過近似估計得到。一種簡單的估計波動率的方法,是利用過去所觀察得到的標的資產價格波動的歷史數據,用以估計未來價格的波動率。這一方法求得的波動率被稱為歷史波動率。當然,如果期權價格已知,就可以反過來利用期權定價模型倒推出波動率,這種推算出來的波動率則被稱為市場報價中的隱含波動率。
 
2、估計標的資產價格的波動率
 
在期權參數的估計中,波動率是難度最大的,也是最重要的。波動率本身是無法直接觀測的,而且在t時刻為T時刻到期的期權定價時,人們關心的是t時刻到T時刻之間標的資產價格的波動率,也就是未來的波動率。因此在期權定價中使用的,本質上是人們對未來給定期限的波動率的預期值。
 
在預測未來波動率時,常用的方法有兩類:歷史法和隱含法。相應產生了歷史波動率和隱含波動率的概念。
 
(1)歷史法
 
所謂歷史法就是從標的資產價格的歷史數據中估計得到歷史波動率,再相應外推得到未來波動率的預測值。最常見的歷史波動率估計方法是標準差法。除了標準差方法,常見的歷史波動率估計方法還有已實現波動率和極差波動率,其分別是用日內的高頻數據和每日最高最低價計算得到的波動率指標。
 
在估計得到歷史波動率之後,關於如何外推得到未來波動率的預測值,又有不同的做法。最簡單的方法就是認為歷史將會重複,直接將歷史數據中得到的歷史波動率作為未來波動率的預測值;更複雜一些的則是通過一些計量方法構建起波動率歷史值和未來值之間的時間序列模型,以此模型進行外推預測,比如著名的廣義自回歸條件異方差(generalized autoregressive conditional heteroskedasticity,GARCH)模型和隨機波動率模型等。
 
(2)隱含法
 
由於波動率的時變性,歷史並不會簡單重複,用歷史法外推的未來波動率的預測值通常並不准確,期權市場上的交易者往往更傾向於使用隱含法。所謂隱含法,就是將期權的市場價格和波動率以外的參數代入期權定價模型(最常見的就是BSM模型),倒求出期權價格所對應的波動率,就是隱含波動率,然後再用於其他條件類似的期權定價和風險對沖等。
 
由於在交易期權時波動率是重要的決策參數,每個期權交易者都會在對未來波動率進行預測的基礎上進行交易,相應得到的期權市場價格天然反映了市場對未來波動率的預期。
 
四、通過B-S-M期權定價公式,編程計算歐式看漲期權的價格
 
Deribit平台上的比特幣期權為歐式期權,其定價是藉助於B-S-M公式來進行的,可直接在其網頁上操作進行定價。它支持三種定價方式——以BTC定價、以美元定價和以隱含波動率定價,當然我們也可另行編寫程序來定價並與其對比。
 
取標的資產(BTC指數價格)在某時點(6月18日UTC時間上午9:18)的價格為9203.38美元,看漲期權到期日的執行價格為9500美元,年化的無風險利率為0.00 %(取自Deribit平台),期權存續期為2.95天,即還有2.95天到期,亦即2.95/365年,標的資產的波動率為70.86%(取自Deribit平台),可編程計算出看漲期權為118.01美元,即0.0128個幣。此價格與在該平台直接得出的定價是一致的。
 
五、通過另一種方式來確定期權的價格
 
上述定價方式可能不太直觀。下面提供另一種定價的方式,更加簡單形象,易於理解。
 
我們可假設到期日標的資產價格正好達到盈虧平衡點,即根據之前的行情來嘗試預估盈虧平衡點,這樣就能夠求出與之對應的期權價格(計算公式見下)。然後根據此期權價格通過BSM期權定價公式算出隱含波動率,若此隱含波動率與正常的偏差太大,說明之前給出的盈虧平衡點很可能不正確,應捨棄並重新預估和計算。
 
下面簡要介紹此定價方式的計算公式。
 
1、歐式看漲期權的價格
 
盈虧平衡點與期權價格的關係為
 
看漲期權的盈虧平衡點=行權價格+期權價格

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然後根據上文所述,按此期權價格計算出隱含波動率來決定是否採用。
 
2、歐式看跌期權的價格
 
盈虧平衡點與期權價格的關係為
 
看跌期權的盈虧平衡點=行權價格-期權價格

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然後根據上文所述,按此期權價格計算出隱含波動率來決定是否採用。
 
六、期權價格的敏感性[3]
 
在現實中,人們常常還需要更深入地了解各因素對期權的影響程度,或者說期權價格對這些因素的敏感性。從數學上說,期權價格對這些因素的敏感性,就是假設其他條件不變時期權價格對這些因素的偏導數;從經濟上來說,當我們通過各種方式將期權(組合)的這些敏感性降為0,就實現了對期權(組合)的套期保值。這些因素的變動將不會再影響期權(組合)的價值。
 
下面只介紹Deribit平台所使用的4個希臘字母(偏導數)。
 
1、Delta(Δ)
 
Delta(Δ)用於衡量衍生品價格對標的資產價格變動的敏感度,它等於衍生品價格變化與標的資產價格變化的比率。準確地說,它是表示在其他條件不變情況下,標的資產價格的微小變動所導致的期權價格的變動。用數學語言表示,期權的Delta值等於期權價格對標的資產價格的偏導數。

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在Deribit平台,Delta(Δ)值具體是指當標的指數有1美元的波動時,所有期權價格(以美元計)的累計波動值。
 
2、Gamma

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在Deribit平台,Gamma值具體是指隨著指數中1美元的波動,Delta值的變化率(比特幣/1美元變化)。
 
3、Vega
 
衍生品的Vega(V),用於衡量衍生品的價值對標的資產價格波動率的敏感度,它等於衍生品價格對標的資產價格波動率σ的偏導數,即

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證券組合的Vega值等於該組合中各證券的數量與各證券的Vega值乘積的總和。證券組合的Vega值越大,說明其價值對波動率的變化越敏感。
 
在Deribit平台,Vega值具體是指當波動率每變化1%時,以美元計期權投資組合價格與隱含波動率之間的變化率。
 
4、Theta
 
Theta(Θ),用於衡量衍生品價格對時間變化的敏感度,是在其他條件不變情況下衍生品價格變化與時間變化的比率,即衍生品價格對時間t的偏導數:

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在Deribit平台,Theta值具體是指以美元計每天期權總價值的變化率。
 
七、根據上文所述,採用以上兩種方法編程進行期權定價(用於Deribit平台)
 
程序界面如下:

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八、結論與討論
 
Deribit平台上的比特幣期權為歐式期權,其定價是藉助於B-S-M公式來進行的。本文簡述了兩種計算比特幣歐式期權價格的方式,針對該平台利用B-S-M公式編寫了期權定價的計算程序。
 
值得注意的是,在傳統金融領域,一大批數量分析師和研究者對BSM期權定價模型做了很多更新,例如:隨機的利率、基礎資產的尖峰態概率分佈、對許多資產的依賴、離散對沖和交易成本、價格跳躍、信用風險、隨機波動率、局部波動率以及面分佈等等——這僅僅是對此模型的一小部分改進[2]。例如,為了解決與BSM期權定價模型不符的兩個現象,即波動率微笑和非對稱的尖峰厚尾現象,SGKou提出了一種比較理想的模型,即雙指數跳躍擴散模型[4],在國內也有多篇文獻對此模型進行了研究[5]-[8]。這些研究對於數字貨幣領域的期權定價問題也有著極為重大的意義。
 
導師評語:
 
對沖基金在整個數字貨幣市場扮演著很重要的角色,其規模化資金可為市場提供巨大的流動性。衍生品是核心戰場,如果衍生品發展滯後,對沖基金就無法實現資金的結構化管理,使得市場流動性偏弱,從而易於被莊家所操縱。
 
因此,對衍生品交易相關問題的討論,其意義在於為傳統金融機構進入數字貨幣領域的可能性做出一些探討。這篇文章對於比特幣歐式期權的基礎性介紹,將使更多的傳統機構對數字貨幣的認識更加完整。
 
參考文獻
 
[1] 伊曼紐爾•德曼. 寬客人生. 張戩譯. 北京:中信出版社, 2007. 130-131
 
[2] 卡里爾•伊林斯基. 金融物理學——非均衡定價中的測量建模. 殷劍峰、李彥譯. 北京:機械工業出版社, 2003. 187-207
 
[3] 鄭振龍,陳蓉. 金融工程. 第四版. 北京:高等教育出版社, 2016. 150-266
 
[4] S.G. Kou. A Jump-Diffusion Model for Option Pricing. Management Science, 2002, 48(8): 1086-1101.
 
[5] 宋樹成. 雙指數跳躍擴散模型下的幾種期權定價. 山東大學碩士學位論文, 2013
 
[6] 王淑君. 股票價格服從跳擴散過程的期權定價模型. 南開大學碩士學位論文. 2010
 
[7] 劉曉曙. 三種雙指數跳躍擴散模型實證比較研究. 南方經濟, 2008, (2):65
 
[8] 周偉, 何建敏, 余德建. 隨機跳變廣義雙指數分佈下的雙重跳躍擴散模型及應用. 系統工程理論與實踐, 2013, 33(11): 2746-2756.